Estudando Algumas Formas de Fatoração

Vamos estudar a seguir sobre algumas formas de fatoração de polinômios. Embora não exista uma regra específica para determinar qual meio de fatoração utilizar, devemos prestar atenção em qual situação cada método se enquadra melhor. Ao todo são 7 diferentes meios de fatoração de polinômios, vamos estudar alguns a seguir.

O primeiro método de fatoração é a fatoração por fator comum. Este tipo de fatoração, que também recebe o nome de fatoração por colocação de termos em evidência, possui como condição que os monômios da expressão algébrica tenham algum termo de comum. A fatoração é realizada colocando o termo comum em evidência, como mostraremos nos exemplos. Vamos considerar a expressão:

Como já estudamos anteriormente, a equação possui dois monômios, x e 2xy. Além disso, a expressão cumpre o requisito deste tipo de fatoração, que é a presença de um termo em comum, no caso o termo x. Para realizar a fatoração pelo fator comum, devemos dividir todos os termos da expressão pelo monômio a ser colocado em evidência. Deste modo:

E assim atingimos o resultado utilizando este tipo de fatoração. Os resultados da expressão acima podem ser definidos da seguinte maneira:

Essa é a fatoração através do fator comum. Veja mais alguns exemplos:

O segundo caso de fatoração a ser estudado é a fatoração por agrupamento. É importante que antes de estudar este assunto, você tenha entendido corretamente o funcionamento do primeiro caso, pois vamos utilizá-lo nesta sequência. Para realizar a fatoração por agrupamento devemos agrupar os termos semelhantes e coloca-los em evidência, sendo assim, ao aplicar o agrupamento utilizaremos a fatoração por fator comum.

Para isso, vamos considerar a seguinte expressão:

Para realizar esta fatoração, o primeiro passo é separar as equações em partes com termos comuns. Vamos separá-las da seguinte forma:

Dando sequência ao projeto, devemos realizar duas fatorações por fator comum, assim como realizamos no primeiro caso. Sendo assim:

A diferença deste método para o anterior é que, posterior a fatoração pelo fator comum, temos outro termo em comum, que no nosso exemplo é o termo (x+1). Sendo assim, vamos realizar mais uma fatoração por fator comum, desta vez com o termo (x+1) em evidência. Portanto:

E esse será o resultado da expressão após a fatoração por agrupamento. Como você já percebeu, a fatoração por agrupamento é um caso especial das fatorações por fator comum, e que necessitamos realizar a fatoração três vezes para atingir a forma final da expressão! O resultado desta equação é obtido também da mesma forma que a fatoração anterior. Devemos igualar cada uma das expressões ao termo independente (em nosso exemplo igualar a 0) e obter os resultados desejados.

No entanto, quanto a resolução deste sistema devemos ter um ordenamento das equações. Observe que a primeira equação possui apenas uma incógnita (x), enquanto a segunda apresenta duas diferentes incógnitas (x e y). Desta forma, devemos primeiro resolver primeiro a equação de menor quantidade de incógnitas, utilizando o seu resultado nas seguintes. Portanto:

Com isso, apresentamos dois dos métodos de fatoração que podem ser utilizados, assim como as situações que permitem a sua aplicação. Em breve estudaremos os outros métodos, evidenciando as suas particularidades!