Entenda as Funções Pares e Ímpares

 

Como já vimos em postagens anteriores, as funções são instrumentos capazes de estabelecer uma relação entre elementos de dois conjuntos, o domínio e a imagem de um conjunto. Com isso, um valo qualquer x contido no domínio de uma função irá se transformar no valor f(x) presente no conjunto imagem. Já estudamos aqui no InfoEnem as funções injetora, sobrejetora e bijetora, onde aprendemos suas definições e também alguns exemplos. A seguir, vamos estudar sobre outros dois tipos de função: A função par e a função ímpar.

Antes disso, vamos relembrar rapidamente alguns conceitos importantes que serão necessários na sequência. São eles:

• Domínio da função: O domínio de uma função é definido como o conjunto de saída da equação, ou seja, os seus valores iniciais.
• Contradomínio da função: É o conjunto formado pelos elementos que podem compor a solução da função. Não necessariamente todos os elementos do conjunto contradomínio formarão o conjunto imagem.
• Imagem da função: O conjunto imagem é formado pelos elementos do contradomínio que possuem correspondência com o domínio da função.

Após esta breve explicação, definiremos as funções. Uma função par é definida como aquela em que os elementos simétricos do conjunto do domínio possuam a mesma imagem no conjunto de chegada, ou seja, os valores do domínio que possuírem o mesmo módulo deverão estar ligados ao mesmo número no conjunto de chegada. Veja um digrama de Venn típico de uma função par:

Como afirmado em sua definição, os números que são simétricos (em nosso exemplo -1 e 1), devem possuir o mesmo correspondente no conjunto de chegada. Recordando de postagens anteriores, a função par não pode ser uma função injetora, uma vez que possui dois elementos com mesma imagem. Consequentemente, não poderá também ser uma função bijetora.

Além do diagrama de Venn, podemos identificar se a função é par através da seguinte relação:

Desde modo, vamos verificar se a função  é uma função par:

Desta forma, esta é uma função par!

Agora vamos falar sobre as funções ímpares. As funções ímpares são aquelas em que elementos simétricos no domínio vão resultar em elementos simétricos no conjunto da imagem. Veja a função ímpar representada no diagrama de Venn:

Note que os elementos simétricos no domínio da função (-1 e 1) possuem a imagem também simétrica (4 e -4). A função ímpar não possui limitações, podendo ser injetora, sobrejetora ou até mesmo bijetora, como é o nosso exemplo acima. Além disso, uma função ímpar deve respeitar a seguinte condição:



Sendo assim, a função f(x) = x é considerada uma função ímpar, já que:



A função seno é uma função ímpar, pois o seu conjunto imagem, que varia de 0 a 1, assume valores que respeitam a relação da função ímpar. Observe:

sen90º=1                                sen-90º=-1
sen-90º=-sen90º

Já a função cosseno se trata de uma função par. Observe:

cos60º=0,5                                cos-60º=0,5
cos60º=cos-60º

Deste modo, aprendemos hoje mais uma das classificações das funções. Assim como observamos anteriormente, a caracterização das equações é importante, pois permite definir propriedades que possam determinar se a sua utilização é correta ou não. Você pode treinar com outras equações, verificando quais são ímpares ou pares!